Xác suất là gì

1. Reviews xác suất

Toán học là 1 trong những ngôn ngữ vẻ ngoài mà các nhà khoa học tạo nên để cố trình bày tự nhiên. Giữa những vấn đề cơ bản nhất của toán học tập là đi cân nặng đo đong đếm… và nghệ thuật ở đấy là xây dựng ra phần lớn “độ đo” trừu tượng… nhà toán học, đồ vật lý Galileo Galilei có vài câu thơ như sau:

“Measure what is measurable, & make measurable what is not so.” — Galileo Galilei

Xác suất là độ đo của toán học nhằm đo tính phi chắc chắn của kĩ năng xảy ra một sự kiện (biến cố).

Bạn đang xem: Xác suất là gì

2. Không khí mẫu và sự kiện

Tập các kết quả hoàn toàn có thể xảy ra của một thí nghiệm được gọi là không gian mẫu (ký hiệu: ( Omega )). Mỗi bộ phận ( omega ) vào ( Omega ) được gọi là 1 trong kết quả (một điểm hay thành phần trong không khí mẫu). Mỗi tập nhỏ của ( Omega ) được gọi là một trong biến cố.


Tung đồng xu kết quả rất có thể là sấp hoặc ngửa. điện thoại tư vấn $ S $ là vươn lên là cố "sấp" cùng $ N $ là phát triển thành cố "ngửa". Tung đồng xu nhì lần, không gian mẫu là $Omega = left SS,SN,NS,NN ight$ .Biến cầm lần tung đầu tiên sấp trong thể nghiệm là $ A = SS, SN $
Đặt $ omega $ là tốc độ của một cái xe máy, lúc đó chúng ta có thể đặt không khí mẫu là $ Omega = mathbbR = (-infty , +infty )$. Đọc cho đây bạn đọc rất có thể cho rằng việc đặt $ Omega $ như bên trên là ko phù hợp! Vì có vẻ như như sẽ sở hữu được chặn trên và chặn dưới cho tốc độ chiếc xe máy này! tuy thế "thường" thì việc này không có ảnh hưởng gì cả. Biến hóa cố xe thứ chạy lớn hơn hoặc bởi $ 40 $ và bé dại hơn hoặc bởi $ 50 $ là $ A =< 40, 50>$

Cho trở thành cố ( A ), call ( ar A = omega in Omega : omega otin A ) là ký hiệu là phần bù của ( A ), trở thành cố ( ar A ) hotline là phủ định của (A).

Cho hai biến chuyển cố ( A ) và ( B ), trở nên cố thích hợp của ( A ) với ( B ) là vươn lên là cố “ít nhất một trong các hai biến đổi cố ( A) hoặc (B) xảy ra” được định nghĩa:

< A cup B = left omega in Omega : omega in A ext hoặc omega in B ight\>

Cho hai biến chuyển cố ( A ) và ( B ), đổi thay cố giao của ( A ) với ( B ) là phát triển thành cố “cả ( A) (B) xảy ra “ được tư tưởng (đôi khi họ viết ( A cap B ) bên dưới dạng ( (A,B) ) hoặc (AB) ):

< A cap B = left omega in Omega : omega in A ext cùng omega in B ight\>

3. Xác suất

Xác suất là một hàm số thực định lượng khả năng xảy ra của mỗi vươn lên là cố ( A ) xẩy ra trong không khí mẫu ( Omega ), mỗi phát triển thành cố ( A ) sẽ được gán một con số thực nhằm định lượng kĩ năng ( Pr(A) ) (hay nói một cách khác là độ đo xác suất). Mỗi tỷ lệ của mỗi thay đổi cố phải thỏa mãn các định đề sau:

cha tiên đề luật tỷ lệ (Probability Law)
Tiên đề 1: không âm (Nonnegativity) ( Pr(A) ge 0 ), với tất cả biến thay ( A )
Tiên đề 2: Chuấn hóa (Normalization) ( Pr(Omega) = 1 )
Tiên đề 3: cùng tính (Additivity) giả dụ hai đổi mới cố ( A ) và ( B ) tránh nhau (disjoint) tốt (A cap B = emptyset ) thì: < Pr(A cap B) = Pr(A) + Pr(B) ag1 > bao quát hơn nếu như ( A_1, A_2,… ) rời nhau thì: < Pr left( igcuplimits_i = 1^infty A_i ight) = sumlimits_i = 1^infty Prleft( A_i ight) ag2 >
Có cực kỳ nhiều phương pháp để giải yêu thích xác suất, cách phổ cập nhất là giải thích xác suất dựa trên tần số xuất hiện thêm (The Frequency Interpretation of Probability). Trong nhiều vấn đề, xác suất rất có thể xem như là tần số kết quả của một quá trình mà công dụng thu được lúc lặp đi lặp lại lượng lớn các phép test trên thuộc một điều kiện tương tự. Chẳng hạn, xác suất tung đồng xu là phương diện sấp hoàn toàn có thể xem như thể ( 1 / 2 ) khi mà con số phép thử khủng và điều kiện tung đồng xu ở những phép thử là tương tự nhau (không được vài ba lần sống trái đất, rồi tiếp tục đem lên sao hỏa tung tiếp :D ).

Việc “giải say đắm xác suất” với phần nhiều cách lý giải khác nhau chưa hẳn là quá đặc trưng cho mang lại khi chúng ta xử lí các vấn đề liên quan đến tư duy thống kê, nhưng ở những phần sau bọn họ sẽ bàn đến hai phe phái suy luận kinh khủng là bên thống kê tần suất và đơn vị thống kê bayes.

Từ tía tiên đề sinh sống trên bạn có thể suy ra một số trong những tính hóa học của tỷ lệ như sau:

< Pr( emptyset ) = 0 >< A subset B Rightarrow Pr(A) le Pr(B) >< 0 le Pr(A) le 1 >< Pr(A) + Pr(ar A) = 1 >< A cap B = emptyset Rightarrow Pr(A cap B) = Pr(A) + Pr(B) >

bổ đề
Với mọi trở nên cố $ A $ và $ B $ ta có: $$ Pr(A cup B) = Pr(A) + Pr(B)-Pr(AB) $$ Chứng minh:Tập $A cup B $ có thể phân ra làm cho 3 tập: tập phần tử của $A$ mà lại không thuộc $B$, tập bộ phận chung của $A$ với $B$, tập thành phần của $B$ mà không ở trong $A$ vì chưng đó: <eginarray*20lPrleft( A cup B ight)& = Prleft( left( Aoverline B ight) cup left( AB ight) cup left( overline A B ight) ight)\& = Prleft( Aoverline B ight) + Prleft( AB ight) + Prleft( overline A B ight)\& = Prleft( Aoverline B ight) + Prleft( AB ight) + Prleft( overline A B ight) + left( Prleft( AB ight) - Prleft( AB ight) ight)\& = left( Prleft( Aoverline B ight) + Prleft( AB ight) ight) + left( Prleft( overline A B ight) + Pr(AB) ight) - Prleft( AB ight)\& = Prleft( left( Aoverline B ight) cup left( AB ight) ight) + Prleft( left( overline A B ight) cup left( AB ight) ight) - Prleft( AB ight)\& = Prleft( A ight) + Prleft( B ight) - Prleft( AB ight)endarray>

4. Xác suất trên không khí mẫu hữu hạn phần tử

Giả sử không gian mẫu ( Omega = omega_1,…,omega_n ) tất cả hữu hạn phần tử. Ví như bài toán tung đồng xu cha lần thì chỉ có ( 2^3 = 8 ) kết quả rất có thể xảy ra ( Omega = (f,c,t) : f,c,t in S, N ). Bây giờ xác suất của một phát triển thành cố ( A ) được tính ( Pr(A) = |A|/8 ) với (|A| ) kí hiệu số bộ phận của ( A ), lúc này xác suất của đổi thay cố (2) lần tung trước tiên là (S) (mặt sấp) với ( A = (S,S,N), (S,S,S) ), tỷ lệ biến nỗ lực (A) xẩy ra là ( Pr(A) = 2 / 8= 1 / 4 ).

xác suất trên không gian mẫu hữu hạn phần tử
Nếu không khí mẫu ( Omega ) hữu hạn phần tử, phần trăm biến gắng (A) xẩy ra là: < Pr(A) = frac A ight Omega ight >

5. Trở nên cố độc lập

Độc lập nghĩa là không tương quan dính líu gì mang đến nhau, triết lí của nó rất đối chọi giản… cùng hai đổi thay cố điện thoại tư vấn là độc lập cũng vậy.

Xem thêm: Burritos Là Gì ? Cách Làm Bánh Burrito Truyền Thống Của Mexico

Định nghĩa: Hai vươn lên là cố hòa bình
Hai biến chuyển cố ( A ) cùng ( B ) điện thoại tư vấn là hai biến hóa cố hòa bình khi:< Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) > và họ ký hiệu ( A perp!!!perp B ). Một họ ( M = A_i: iin I\) những biến chũm được điện thoại tư vấn là họ độc lập giả dụ như:< Prleft( igcaplimits_i in J A_i ight) = prodlimits_i in J Pr(A_i)> với mỗi tập nhỏ hữu hạn (J ) của (I).

6. Phần trăm có điều kiện

Xác suất bao gồm điều kiện có thể phát biểu một giải pháp nôm na là phần trăm của một đổi mới cố (A) như thế nào đó xảy ra khi biết rằng trở nên cố ( Pr(B)) xảy ra và được ký hiệu (Pr(A|B) ) đọc là “xác suất của (A) lúc biết (B) xảy ra”.

Định nghĩa: xác suất có điều kiện
Nếu như tỷ lệ biến thế (B) là hoàn toàn có thể xảy ra tuyệt (Pr(B)> 0 ) thì xác suất có đk của (A) lúc biết (B) là: < Pr(A|B) = fracPrleft(AB ight)Prleft(B ight) >
Do kia nếu như hai biến đổi cố (A ) và (B) chủ quyền thì xác suất hợp của chúng hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bởi tích của các xác suất của từng biến đổi cố ( Pr(AB) = Pr(A)Pr(B) ) suy ra té đề sau: ngã đề
Nếu như (A) với (B) là hai vươn lên là cố tự do thì (Pr(A|B) = Pr(A)). Hay nói cách khác với phần đa cặp phát triển thành cố tự do (A) với (B) ta có:

7. Công thức phần trăm toàn phần

Định nghĩa
Một họ các tập bé $B_1,...,B_n$ của không gian mẫu $ Omega $ là một phân hoạch (partition) của $Omega$ giả dụ như những tập $B_i$ đôi một ko giao nhau, với hợp của chúng bằng $Omega$:$$B_i cap B_j = emptyset ext với forall i eq j, igcuplimits_i = 1^n B_i = Omega $$

Nếu như họ cần đi tìm kiếm một tỷ lệ $Pr(A)$ nhưng tin tức chỉ có bao hàm các tỷ lệ $Pr(B_i) $ của một phân hoạch $B_1,…,B_n$ của không khí xác suất và xác suất có đk $Pr(A | B_i)$ thì chúng ta có thể áp dụng công thức tỷ lệ toàn phần (law of total probability) nhằm tính xác suất của đổi thay cố $A$:

$$ Pr(A) = sum_i^nPr(A cap B_i) = sum_i^n Pr(A | B_i) Pr(B_i) $$

8. Phương pháp Bayes

Thomas Bayes là 1 trong những nhà toán học tài tử, bởi vì gọi ông ấy tài tử cũng chính vì ông ban đầu toán muộn, công trình thì ít… tuy nhiên đủ làm chuyển đổi cả nắm giới!

*

Nếu (A, B) là hai đổi thay cố với tỷ lệ khác (0):< Pr(B|A) = fracB)Pr(B)Pr(A) ag3 >Công thức bên trên là hệ quả trực tiếp của bí quyết (Pr(B|A)Pr(A)=Pr(A|B)Pr(B)). Kết phù hợp với công thức xác suất toàn phần ta có: bí quyết Bayes
Giả sử (B_1,…,B_n) là 1 phân hoạch trên không khí mẫu (Omega). Lúc đó ta tất cả công thức Bayes:

Công thức tỷ lệ Bayes rất dễ dàng nhưng này lại mang một ý nghĩa sâu xa. Thường thì khi học về xác suất có điều kiện rất nhiều người hay lẫn lộn thân (Pr(A|B)) cùng (Pr(B|A)) là hai con số như nhau, nhưng thực tiễn thì thỉnh thoảng nó khác xa nhau rất nhiều.

Tham khảo

Nguyễn Tiến Dũng & Đỗ Đức Thái. Nhập môn tân tiến xác suất thống kê. Sputnik Education, 2015.

Nguyễn Đình Thúc & Đặng Hải Văn và Lê Phong . Thống kê thiết bị tính. Công ty xuất bản Khoa học cùng Kỹ thuật, 2010.

Wikipedia contributors. “Law of total probability.” Wikipedia, The free Encyclopedia. Wikipedia, The không lấy phí Encyclopedia, 29 Mar. 2018. Web. 26 Jul. 2018.