Hàm số khả vi là gì

của hàm giới hạn với tích phân dựa vào tđắm say số. Dưới đây ta tập trung vào bài toán quan lại gần kề tính khả tích với khả vi, quan trọng câu hỏi áp dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.

Bạn đang xem: Hàm số khả vi là gì

Ta bước đầu cùng với hàng hàm

Không khó chịu toán

Một biện pháp tổng quát, Weierstrass đang chỉ ra:

Với ngẫu nhiên hàm thường xuyên

*
\to\mathbb R" class="latex" /> đều sở hữu dãy các đa thức
*
hội tụ các cho
*
bên trên
*
." class="latex" />

Các bạn tìm hiểu thêm thêm

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem

khi

*
S. N. Bernstein còn đã cho thấy ví dụ hàng các đa thức Bernstein

*

cùng với

*
là 1-1 thức Bernstein.

Chi tiết chúng ta tsay mê khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial

Cũng trường hòa hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ

*
được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ
*
lúc kia L. Fejer đã cho thấy dãy các đa thức

*

cùng với hệ số Fourier

*

Vậy ĐK gì bảo đảm hàm số lượng giới hạn khả vi?

Một trong số điều kiện cần:

– hàng những đạo hàm quy tụ hầu như vào

*
,

– bản thân dãy hàm vẫn cho chỉ việc hội tụ trên một điểm

*

Do tính khả vi bao gồm đặc điểm địa phương phải ta rất có thể điều khiển và tinh chỉnh một chút: thắt chặt và cố định

*

– phiên bản thân hàng hàm hội tụ tại

*
,

– gồm

*
0" class="latex" /> đủ nhỏ tuổi để
*
với dãy đạo hàm quy tụ số đông mang lại hàm
*
vào
*

khi đó

*
hội tụ đến
*
trong
*
. mà còn
*
khả vi trên
*

*
vào
*

Ta vẫn sử dụng hiệu quả về tính chất khả tích của hàng hàm khả tích hội tụ những để chứng minh công dụng bên trên. Muốn nắn vậy ta phải tăng mang thiết, ví dụ

*
liên tiếp trên
*
khi đó hàng nguim hàm

*

hội tụ trên

*
mang đến
*
Lại có

*

với hàng

*
hội tụ, ký kết hiệu giới hạn này
*
Lúc kia hàng
*
quy tụ trong
*
đến
*
Từ đây ta gồm điều cần chứng tỏ.

Giả thiết về tính tiếp tục là yên cầu hơi táo tợn. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần cho mang thiết này. Có không ít ví dụ về hàm khả vi, tất cả đạo hàm ko khả tích Riemann. ví dụ như

*
là hàm khả vi vào
*
có đạo hàm

*

là hàm không biến thành chặn vào

*
buộc phải không khả tích trong số đó.

Xem thêm: House Of The House Of The Dead 4 Pc __Hot__ Download Iso, House Of The Dead 4 Pc __Hot__ Download Iso

Ví dụ về hàm khả vi, gồm đạo hàm bị chặn và ko khả tích Riemann, được Volterra lần thứ nhất giới thiệu. Ví dụ này được xuất bản tương đối phức tạp. Các các bạn ttê mê khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

lấy ví dụ dễ dàng hơn được C. Goffman chỉ dẫn. lấy ví dụ này có không ít nét tương tự ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các chúng ta tđê mê khảo

Cliông xã to access Goffman77.pdf

Câu hỏi khác tương quan mang đến vụ việc này: hàm khả vi, ta có thể Phục hồi lại hàm từ bỏ đạo hàm của nó nhờ vào tích phân?

Trường thích hợp

*
\to\mathbb R" class="latex" /> gồm đạo hàm
*
là hàm khả tích Riemann trên
*
thì nó bao gồm tập các điểm cách biệt bao gồm độ đo không. khi đó

*

khả vi hầu mọi địa điểm cùng

*
hầu mọi vị trí. Hơn nữa

*
trên
*
." class="latex" />

Một giải pháp tổng quát, ví như một hàm

*
thường xuyên tuyệt vời và hoàn hảo nhất địa phương thơm thì

– nó khả vi hầu mọi vị trí, có đạo hàm

*
khả tích Lebesgue địa phương vào
*
,

– và

*

Các chúng ta demo cần sử dụng hiệu quả này để mang ra những kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ vào các Định lý quy tụ trội Lebesgue tốt hội tụ solo điệu B. Levi.

Ta đưa sang trọng tích phân phụ thuộc tham mê số cận hữu hạn

*

cùng với

*
\times\to\mathbb R" class="latex" />

+ khả tích bên trên

*
" class="latex" /> theo
*
với từng
*
cố định và thắt chặt,

+ bao gồm đạo hàm riêng rẽ theo

*
cùng với mỗi
*
thắt chặt và cố định.

Câu hỏi:

+

*
có khả vi trong
*
không?

+ Nếu có thì liệu

*
gồm đúng không?

VD3: Xét hàm

*
\times<-1, 1>\to\mathbb R" class="latex" /> xác định bởi

*

*
là hàm thường xuyên trên
*
\times." class="latex" />

Lúc đó

*
khả vi vào
*

*

Để chứng minh ta cần sử dụng tính khả tích của

*
, rứa thể

*
.

Dường như, để ý tính tiếp tục của

*
*

ta có

*
là nguyên ổn hàm của
*

*
.

Xem thêm: Hướng Dẫn Viết Đơn Xin Ly Hôn Theo Mẫu Đơn Xin Ly Hôn Viết Tay 2021

Như vậy ta tất cả điều yêu cầu chứng tỏ.

Tuy nhiên ĐK tiếp tục của đạo hàm riêng đích thực mạnh dạn. Ta chỉ việc đạo hàm riêng rẽ

*
bị chặn là đầy đủ. Các bạn tsi khảo

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral

Trong Giáo trình Giải tích tập 2 giới thiệu Việc áp dụng tính khả vi của tích phân nhờ vào tmê man số nhằm minh chứng tính khả tích. Tại đó ta đề xuất tính liên tục của

*
bên trên
*
\times." class="latex" /> Sau khi học tích phân bội ta vẫn thấy điều kiện tiếp tục to gan lớn mật so với tính khả tích. Thực sự ta chỉ việc tính khả tích để chứng tỏ tính khả tích. Kết trái táo bạo về điều này các bạn tsi khảo


Chuyên mục: Hỏi Đáp